Математика. Тригонометриялық теңдеулерді шешу.

БҚО, Тасқала ауданы, Достық ауылы Семиглавый Мар ЖОББ мектебінің математика және информатика пәнінің мұғалімі Акжан Курманиязов.

1. Қарапайым тригонометриялық теңдеу.
sinx =a, x=〖(-1)〗^n arcsina+ nπ, |a|≤1 болғанда
cos x = a, x = ±arccosa+2nπ, |a|≤1 болғанда
tg x = a, x = arctga+nπ, a∈R
ctg x = a, x = arcctga+nπ, a∈R
мұндағы n = 0; ±1; ± 2; ±3; ± 4; …, n∈Z
2. Кері тригонометриялық функцияларының кейбір қасиеттері.
-π/2≤arcsin⁡〖a≤π/2〗, a ∈[-1;1], arcsin⁡a тақ функция, arcsin (- a) = – arcsin a
0 ≤arcsin⁡〖a≤π〗, a ∈[-1;1], arcsin⁡a тақ та, жұп та емес
-π/2≤arctg⁡〖a≤π/2〗, a ∈R, arctg⁡a тақ функция, arctg (- a) = – arctg a
0 ≤arcctg⁡〖a≤π〗, a ∈R, arcctg⁡a тақ та, жұп та емес
1 мысал.
2sin2x=1 [2sin2x=1-cos2x] 1-cos2x=1,
cos2x=0
2x= π/2+nπ, n ∈ Z
x= π/4+nπ/2, n∈Z
жауабы: x= π/4+nπ/2, n∈Z
2 мысал
tg2x = 3
1. tgx = √3,
x= π/3+nπ,n∈Z
2.tgx = – √3,
x= -π/3+nπ,n∈Z
екі жауапты біріктіру арқылы
x= ±π/3+nπ,n∈Z
жауабы: x= ±π/3+nπ,n∈Z
3. Екі еселенген аргументтің формулалары
sin2α=2sinαcosα
cos2α=〖cos〗^2 α-〖sin〗^2 α=2〖cos〗^2 α-1=1-2〖sin〗^2 α
4. Жарты аргументтің формулалары
|█(〖sin〗^2 α/2=1/2 (1-cosα)@)|
|〖cos〗^2 α/2=1/2 (1+cosα) |
|█(tgα= sin2α/(1+cos2α), α≠π/2+nπ,n∈Z@sin2α= 2tgα/(1+〖tg〗^2 α),α≠π/2+nπ,n∈Z@cos2α= (1-〖tg〗^2 α)/(1+〖tg〗^2 α),α≠π/2+nπ,n∈Z)|
Әртүрлі теңдеулерді шешу мысалдары.
Теңдеу түрлері
sinax + sinbx = 0,
sinax – sinbx = 0,
cosax + cosbx = 0,
cosax – cosbx = 0
|█(sinα+sinβ=2sin (α+β)/2∙cos (α-β)/2@sinα- sinβ=2sin (α-β)/2∙cos (α+β)/2@cosα+cosβ=2cos (α+β)/2∙cos (α-β)/2@cosα-cosβ=-2sin (α+β)/2∙sin (α-β)/2)|
3 мысал.
sin6x+sin4x=0
2sin5xcosx=0
sin5x=0 немес cosx=0
x = πn/5, x= π/2 +πn,n∈Z
жауабы: x = πn/5, x= π/2 +πn,n∈Z
Теңдеу түрлері бойынша берілген есептерді
sinax + cosbx = 0, sinax – cosbx = 0,
келтіру формулары арқылы шығаруға болады.
4 мысал.
sinx = cos2x
sinx – cos2x = 0
sinx-sin⁡(π/2- 2x)=0
2sin 1/2 (3x- π/2)cos 1/2(π/2- x)=0

sin 1/2 (3x- π/2)=0, немесе cos 1/2(π/2- x)=0
Бірінші теңдеу: 1/2 (3x- π/2)=πk, x= π/6 + 2πk/3,k∈Z
Екінші теңдеу: 1/2 ( π/2- x)=π/2+ πl, x= -π/2-2πl,l∈Z
Екінші теңдеудің түбірлерінің жиыны бірінші теңдеудің түбірлерінің ішкі жиыны болады, шынында да k = – 1 -3 l, l ∈Z болғанда x= π/6+ (2π(-1-3l))/3= – π/(2 )- 2πl сондықтан бірінші теңдеудің түбірлері берілген теңдеудің шешімі болады.
Жауабы: x= π/6 + 2πk/3,k∈Z
Теңдеудің түрі
asinωx + bcos ωx = c, a2 + b2 ≠ 0
5 мысал
sin2x + cos 2x = – 1
бұл теңдеу дербес жағдайда a = b = 1, c = -1, ω = 2
теңдіктің екі жағында √2 – ге бөлеміз, сонда
1/√2 sin2x+ 1/√2 cos2x= -1/√2

|1/√2= sin⁡( π/4 )=cos⁡( π/4 ) ескерсек|
sin2xcos⁡( π/4 ) + cos2xsin⁡( π/4 )= – 1/√2
sin⁡(2x+ π/4 )= – 1/√2
x=〖((-1)〗^(n+1)-1) π/8+ πn/2,n∈Z
Жауабы: x=〖((-1)〗^(n+1)-1) π/8+ πn/2,n∈Z

Жалпы жағдай да asinωx + bcos ωx = c, a2 + b2 ≠ 0 көмекші φ бұрышын енгізіп, теңдеудің екі жағында √(a^2+b^2 ) өрнегіне бөлеміз. Сонда
cos φ = a/√(a^2+b^2 ), sin φ = b/√(a^2+b^2 ), осы теңдікті пайдаланып, мынадай түрге келеміз
sinωxcosφ+ cosωxsinφ= c/√(a^2+b^2 )
sin⁡(ωx+φ)= c/√(a^2+b^2 ) бұл теңдеудің шешімі, тек қана |с| ≤√(a^2+ b^2 ) болғанда болады.
6 мысал
12cosx – 5 sinx = – 13
Теңдеудің екі жағында
√(〖12〗^2+5^2 )=13-ке бөлеміз, сонда
12/13 cosx- 5/13 sinx= -1
cosφ = 12/13, sinφ= 5/13,бұдан φ=arccos⁡(12/13)
cosxcosφ- sinxsinφ= -1
cos⁡(x+φ)=-1
x + φ = π+2πn,
x=-φ+ π(2n+1 ),
x=-arccos⁡(12/13)+ π(2n+1 ),n∈Z
Жауабы: x=-arccos⁡(12/13)+ π(2n+1 ),n∈Z
Жаңа айнымалы енгізу
7 мысал
sin3x + cos 2x = 1
|█(cos2x=1-〖2sin〗^2 x= 〖cos〗^2 α-〖sin〗^2 α@sin2α=2sinαcosα@sin⁡(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ@sin3x=sin(x+2x)@)|
sinx (3 – 〖4sin〗^2 x)+1 – 〖2sin〗^2 x=1
〖4sin〗^3 x+〖2sin〗^2 x-3 sinx=0
|t=sinx- жаңа айнымалы|
〖4t〗^3+〖2t〗^2- 3t=0
Түбірлері t_1=0, t_2=(√13-1)/4,〖 t〗_3=-((√13+1)/4)
sinx=0, sinx=(√13-1)/4,sinx=-((√13+1)/4)
x=πn, x=(-1) (-1)^n arcsin⁡〖(√13-1)/4〗+ πn, n∈Z;
-((√13+1)/4) Жауабы: x=πn, x=(-1) (-1)^n arcsin⁡〖(√13-1)/4〗+ πn, n∈Z;

Сабақтың толық нұсқасын көшіріп алыңыз.

Check Also

Электрондық күнделікті пайдалану туралы

Электрондық күнделікті пайдалану туралы тамаша бейнесабақ.  Өскембаева Кенже ханымның тамаша бейнесабақтары.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.