Математика. Тригонометриялық теңдеулерді шешу.

БҚО, Тасқала ауданы, Достық ауылы Семиглавый Мар ЖОББ мектебінің математика және информатика пәнінің мұғалімі Акжан Курманиязов.

1. Қарапайым тригонометриялық теңдеу.
sinx =a, x=〖(-1)〗^n arcsina+ nπ, |a|≤1 болғанда
cos x = a, x = ±arccosa+2nπ, |a|≤1 болғанда
tg x = a, x = arctga+nπ, a∈R
ctg x = a, x = arcctga+nπ, a∈R
мұндағы n = 0; ±1; ± 2; ±3; ± 4; …, n∈Z
2. Кері тригонометриялық функцияларының кейбір қасиеттері.
-π/2≤arcsin⁡〖a≤π/2〗, a ∈[-1;1], arcsin⁡a тақ функция, arcsin (- a) = – arcsin a
0 ≤arcsin⁡〖a≤π〗, a ∈[-1;1], arcsin⁡a тақ та, жұп та емес
-π/2≤arctg⁡〖a≤π/2〗, a ∈R, arctg⁡a тақ функция, arctg (- a) = – arctg a
0 ≤arcctg⁡〖a≤π〗, a ∈R, arcctg⁡a тақ та, жұп та емес
1 мысал.
2sin2x=1 [2sin2x=1-cos2x] 1-cos2x=1,
cos2x=0
2x= π/2+nπ, n ∈ Z
x= π/4+nπ/2, n∈Z
жауабы: x= π/4+nπ/2, n∈Z
2 мысал
tg2x = 3
1. tgx = √3,
x= π/3+nπ,n∈Z
2.tgx = – √3,
x= -π/3+nπ,n∈Z
екі жауапты біріктіру арқылы
x= ±π/3+nπ,n∈Z
жауабы: x= ±π/3+nπ,n∈Z
3. Екі еселенген аргументтің формулалары
sin2α=2sinαcosα
cos2α=〖cos〗^2 α-〖sin〗^2 α=2〖cos〗^2 α-1=1-2〖sin〗^2 α
4. Жарты аргументтің формулалары
|█(〖sin〗^2 α/2=1/2 (1-cosα)@)|
|〖cos〗^2 α/2=1/2 (1+cosα) |
|█(tgα= sin2α/(1+cos2α), α≠π/2+nπ,n∈Z@sin2α= 2tgα/(1+〖tg〗^2 α),α≠π/2+nπ,n∈Z@cos2α= (1-〖tg〗^2 α)/(1+〖tg〗^2 α),α≠π/2+nπ,n∈Z)|
Әртүрлі теңдеулерді шешу мысалдары.
Теңдеу түрлері
sinax + sinbx = 0,
sinax – sinbx = 0,
cosax + cosbx = 0,
cosax – cosbx = 0
|█(sinα+sinβ=2sin (α+β)/2∙cos (α-β)/2@sinα- sinβ=2sin (α-β)/2∙cos (α+β)/2@cosα+cosβ=2cos (α+β)/2∙cos (α-β)/2@cosα-cosβ=-2sin (α+β)/2∙sin (α-β)/2)|
3 мысал.
sin6x+sin4x=0
2sin5xcosx=0
sin5x=0 немес cosx=0
x = πn/5, x= π/2 +πn,n∈Z
жауабы: x = πn/5, x= π/2 +πn,n∈Z
Теңдеу түрлері бойынша берілген есептерді
sinax + cosbx = 0, sinax – cosbx = 0,
келтіру формулары арқылы шығаруға болады.
4 мысал.
sinx = cos2x
sinx – cos2x = 0
sinx-sin⁡(π/2- 2x)=0
2sin 1/2 (3x- π/2)cos 1/2(π/2- x)=0

sin 1/2 (3x- π/2)=0, немесе cos 1/2(π/2- x)=0
Бірінші теңдеу: 1/2 (3x- π/2)=πk, x= π/6 + 2πk/3,k∈Z
Екінші теңдеу: 1/2 ( π/2- x)=π/2+ πl, x= -π/2-2πl,l∈Z
Екінші теңдеудің түбірлерінің жиыны бірінші теңдеудің түбірлерінің ішкі жиыны болады, шынында да k = – 1 -3 l, l ∈Z болғанда x= π/6+ (2π(-1-3l))/3= – π/(2 )- 2πl сондықтан бірінші теңдеудің түбірлері берілген теңдеудің шешімі болады.
Жауабы: x= π/6 + 2πk/3,k∈Z
Теңдеудің түрі
asinωx + bcos ωx = c, a2 + b2 ≠ 0
5 мысал
sin2x + cos 2x = – 1
бұл теңдеу дербес жағдайда a = b = 1, c = -1, ω = 2
теңдіктің екі жағында √2 – ге бөлеміз, сонда
1/√2 sin2x+ 1/√2 cos2x= -1/√2

|1/√2= sin⁡( π/4 )=cos⁡( π/4 ) ескерсек|
sin2xcos⁡( π/4 ) + cos2xsin⁡( π/4 )= – 1/√2
sin⁡(2x+ π/4 )= – 1/√2
x=〖((-1)〗^(n+1)-1) π/8+ πn/2,n∈Z
Жауабы: x=〖((-1)〗^(n+1)-1) π/8+ πn/2,n∈Z

Жалпы жағдай да asinωx + bcos ωx = c, a2 + b2 ≠ 0 көмекші φ бұрышын енгізіп, теңдеудің екі жағында √(a^2+b^2 ) өрнегіне бөлеміз. Сонда
cos φ = a/√(a^2+b^2 ), sin φ = b/√(a^2+b^2 ), осы теңдікті пайдаланып, мынадай түрге келеміз
sinωxcosφ+ cosωxsinφ= c/√(a^2+b^2 )
sin⁡(ωx+φ)= c/√(a^2+b^2 ) бұл теңдеудің шешімі, тек қана |с| ≤√(a^2+ b^2 ) болғанда болады.
6 мысал
12cosx – 5 sinx = – 13
Теңдеудің екі жағында
√(〖12〗^2+5^2 )=13-ке бөлеміз, сонда
12/13 cosx- 5/13 sinx= -1
cosφ = 12/13, sinφ= 5/13,бұдан φ=arccos⁡(12/13)
cosxcosφ- sinxsinφ= -1
cos⁡(x+φ)=-1
x + φ = π+2πn,
x=-φ+ π(2n+1 ),
x=-arccos⁡(12/13)+ π(2n+1 ),n∈Z
Жауабы: x=-arccos⁡(12/13)+ π(2n+1 ),n∈Z
Жаңа айнымалы енгізу
7 мысал
sin3x + cos 2x = 1
|█(cos2x=1-〖2sin〗^2 x= 〖cos〗^2 α-〖sin〗^2 α@sin2α=2sinαcosα@sin⁡(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ@sin3x=sin(x+2x)@)|
sinx (3 – 〖4sin〗^2 x)+1 – 〖2sin〗^2 x=1
〖4sin〗^3 x+〖2sin〗^2 x-3 sinx=0
|t=sinx- жаңа айнымалы|
〖4t〗^3+〖2t〗^2- 3t=0
Түбірлері t_1=0, t_2=(√13-1)/4,〖 t〗_3=-((√13+1)/4)
sinx=0, sinx=(√13-1)/4,sinx=-((√13+1)/4)
x=πn, x=(-1) (-1)^n arcsin⁡〖(√13-1)/4〗+ πn, n∈Z;
-((√13+1)/4) Жауабы: x=πn, x=(-1) (-1)^n arcsin⁡〖(√13-1)/4〗+ πn, n∈Z;

Сабақтың толық нұсқасын көшіріп алыңыз.

Check Also

Информатика 8. сыныптарға арналған Паскаль программалау тілі бойынша тест тапсырмалары

Татбенова Алтын Избановна Информатика пәні мұғалімі Атырау облыстық  Ж.Досмұхамбетов атындағы дарынды балаларға арналған интернаттық  мекемесі …

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.